私は科学館がオススメです♪
無料で入れます！
私は２歳と１歳の子供と行ったのですが、大人の方が楽しんでました(^_^;)
６歳でも楽しめると思います！
ぜひ、行ってみてください♪

行った事はないですが
http://www.web-sanin.co.jp/local/taisya/hamayu/
浜遊自然館
http://www.kazenoko-taki.com/
風の子学習館
手引ヶ丘公園にある建物なのですがいろいろ土日などには
体験学習などもあります
そんなに大きな施設ではないので長時間は退屈してしまうかもしれません。晴れた日に手引ヶ丘公園に遊びに来たついでに寄ってみるとお勧めかも
あとは平田になるのですが
ゴビウス
http://www.gobius.jp/top.htm
宍道湖に生息している生き物がいるミニ水族館という感じでここはけっこう楽しめるかなと思います
よく遠足などで小学生が来ています

http://www.city.izumo.shimane.jp/icity/browser?ActionCode=content&ContentID=1115954047302&SiteID=0
ゆうプラザという広いプール施設もあるので
私は子供を連れてベビー教室に通っていました

ゴビウスは私もオススメします！
職員の皆さんも感じが良いですし、入場料もそんなにしません。年間パスポートも千円くらいかな？違ってたらすみません。知人は子供２人と自分のパスポート購入して、休みになるとゴビウスに行ってると言ってました。私も行ったことありますが、大人が行っても楽しいですよ。

■解決■ありがとうございます。
とりあえず近いところでゴビウスから行ってみます！